\section{仿真结果}{Simulation Results}
本节将在$ \phi $取得不同数值时，仿真验证前文获得的可见光SISO点对点信道下界和上界随着信噪比变化的规律，并与现有理论进行对比。仿真中，假设信道噪声功率归一化，即$ \sigma^2=1 $，直流偏置$ b=A $，此外定义信噪比SNR为$ \mathrm{SNR}\triangleq \frac{\varepsilon}{\sigma^2} $。


仿真中，连续输入分布的可达速率通过将其微分熵代入公式\eqref{Eqn:P2P:SISO:Lower:General:e}得到，但是由于熵功率不等式不适用于离散分布，离散输入分布的可达速率将按照信道容量定义进行计算。根据文献\cite{Yang2005CN}，我们可知服从离散分布$p\left(x\right)$的输入信号$X$，经过加性高斯信道后，输出信号$Y$服从连续分布。令$f_Y\left(y\right)$表示该连续分布的概率密度函数，则
\begin{align}\label{Eqn:P2P:SISO:DiscertRecv}
f_Y\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\sum_{k=1}^{K}p_k e^{-\frac{\left(y-x_k-A\right)^2}{2\sigma^2}}.
\end{align}
因此，离散输入分布的可达速率可以表述为
\begin{align}\label{Eqn:P2P:SISO:DiscertCapacity}
    C^{\mathrm{SISO}}&=\maximize{p\left(x\right)}{I\left(X,Y\right)}=\maximize{p\left(x\right)}{\diffentropybit{y}{f_Y\left(y\right)}-\frac{1}{2}\log_2 2\pi\sigma^2}.
\end{align}

离散最大熵分布是将文献\cite{Farid2009,Farid2010}中方法扩展至存在三种功率约束的情景得到。离散最大熵分布和离散均匀分布的离散点数目都为$ 15 $个。

从图\ref{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR}(a)可以看出在$ \phi=3 $时，ABG分布和连续均匀分布的可达速率重合，但在图\ref{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR}(b),\ref{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR}(c)和\ref{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR}(d)中，当$ \phi\neq 3 $时，ABG分布的可达速率明显高于连续均匀分布，并且随着$ \phi $的增大，差距越加明显。这与命题\ref{Thm:P2P:SISO:Lower:Uniform=ABG}和命题\ref{Thm:P2P:SISO:Lower:TG=ABG}相吻合。

从图\ref{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR}中可以看出，在固定离散点数目之后，两种离散输入分布的可达速率随着信噪比的增加，首先逐渐上升，然后在高信噪比时趋于水平，与上界的间隙变得十分明显。ABG下界在各个信噪比下都优于离散均匀分布的可达速率。在中低信噪比区域，ABG下界略低于离散最大熵分布的可达速率，差距不到$ 0.1 \mathrm{bits/s/Hz} $，但是在高信噪比区域，ABG下界会超过离散最大熵分布的可达速率，并仍能和上界保持较小的间隙。根据文献\cite{Farid2009,Farid2010}，在高信噪比时，离散最大熵分布只有增加离散点数目才能保持良好的近似性能，但是这一方法需要求解阶数等于离散点数目的非线性方程组，求解高阶非线性方程组本身就是一个难题，此外，离散点数目增加后得到的新分布的可达速率只会在高信噪比时高于原有分布的可达速率，在低信噪比时反而低于原有分布的可达速率，不能在各种信噪比条件下使用同一分布，需要多次求解。ABG下界和离散最大熵的可达速率接近，但是求解难度更低，折中而言，ABG下界要更加实用。

此外，随着$ \phi $增加，ABG下界与上界的间隙逐渐变小，但是固定$ \phi $时，随着SNR增加ABG下界与上界的间隙会逐渐变大。

综上，从仿真结果而言，ABG下界和现有方法相比具有一定优势。

\begin{figure}
    \begin{minipage}[t]{0.49\linewidth}
        \centering  
        \includegraphics[width=\linewidth,height=\linewidth]{figures/P2P/P2P_Rate_PHI=3.eps}
        \vskip-0.2cm\centering {\footnotesize (a)}
        \label{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR:a}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.49\linewidth}
        \centering  
        \includegraphics[width=\linewidth,height=\linewidth]{figures/P2P/P2P_Rate_PHI=6.eps}
        \vskip-0.2cm\centering {\footnotesize (b)}
        \label{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR:b}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}[t]{0.49\linewidth}
    \centering  
    \includegraphics[width=\linewidth,height=\linewidth]{figures/P2P/P2P_Rate_PHI=8.eps}  
    \vskip-0.2cm\centering {\footnotesize (c)}
    \label{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR:c}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.49\linewidth}
    \centering  
    \includegraphics[width=\linewidth,height=\linewidth]{figures/P2P/P2P_Rate_PHI=10.eps}  
    \vskip-0.2cm\centering {\footnotesize (d)}
    \label{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR:d}
    \end{minipage}
    \caption{在不同$ \phi $取值，可达速率（bits/s/Hz）随信噪比（dB）变化情况}{The achievable rate(bits/s/Hz) versus SNR(dB) with different $ \phi $}
    \label{Fig:P2P:SISO:Simulation:RateSNR}
\end{figure}